一、教学背景

“商不变性质”在浙江省编义务教材是第七册内容，它是小学数学中的重要基础知识，是进行除法简便运算的依据，也是今后学习小数乘除法、分数、比的基本性质等知识的基础。教材通过实例的分析、比较，使学生掌握商不变时被除数、除数的变化规律，从而抽象概括出商不变的性质。按照教材安排主要通过师生提供特殊的一组算式，再经过观察、有序地比较，发现商不变性质；而我们试从不同的角度引入本课，主要通过一个填空题展开整堂课。即课上提出一个使学生容易上当的问题：被除数除以除数，商是4，如果被除数与除数同时乘以2，商是（　　　）。由学生猜想、验证这题答案究竟是几？以及验证后的再次联想、验证，最后得到商不变性质。

二、课堂实录

(一)课前谈话

师：今天我们继续研究除法，请你说说：对于除法，你已经知道了什么？

生1：除法就是把一个数量平均分成几份，求一份。

生2：除数是三位数的除法，试商时先看被除数前三位，前三位比除数小，就看前四位。

生3：除法有时还有余数，余数必须比除数小……

(二) 猜想验证

1、提出问题

师：下面老师这里有个关于除法的问题，出示：

“被除数除以除数，商是4，如果被除数与除数同时乘以2，商是（　　　）。”

要求学生独立思考：并把答案写在自己本子上。

学生汇报：有说是8；有说是2；有说是4；还有说是16；

2、猜想、验证

师：那么到底是几呢？如何来验证呢？

生1：可以举个例子来试试看。

师：那么就请你们来试试看。学生试后汇报：

生1： 36 ÷9 =4

(36×2) ÷(9×2)=4

生2： 4 ÷1 =4

(4×2) ÷(1×2)=4

师：你有什么发现？

生：商都是4,一样的。

师：你们是不是商也都一样的？(大部分学生点头)

有没有按照刚才的方法改变被除数与除数，商变化的？

生1： 24 ÷8 =3

(24×2)÷(8×2)=3

师：谁知道这是什么道理呀？

生2：因为它原来算式的答案就是3，但变化被除数与除数后商还是3，而刚才老师是讲原来算式结果是4的，所以商还是不变的。

师：看了这些结果你有什么想法？请你作大胆的猜想。

生1：×2改×另外的数行不行？学生试着验证。

学生汇报：

生1：×另外的数商也是不变的。

如20 ÷ 5 =4

(20×6 ) ÷( 5×6)=4

生2：我知道因为被除数与除数同时乘以一个数，这个数就前后抵消了，所以相当于前后都没乘。

如12 ÷4 =3

   (12×10)÷(4×10) =3       

生3：我知道为什么商不变，因为拿8本本子分给4个人，每人2本本子；

现在8与4都乘以3，变成24本本子分给12个人，每人还是2本本子。

本子多起来，人数也多起来，所以每人分得的本子还是不变的。

师：那么有没有乘了另外的数引起商发生改变的呢？

生1：18 ÷ 3 =6

     (18×3)÷(3×2)=9

生2：要被除数与除数乘的数一样，商才不变。而乘的数不一样，那么商就要变。

3、联想、验证

师：学到现在，你有什么新的想法吗？

生1：乘改除以行不行？学生试着举例验证。

学生汇报：

生1：商也是不变的。

如：36÷9 =4

(36÷3)÷(9÷3)=4

生2：不行的。

如36÷9 =4

 (36÷5)÷(9÷5) 不等于4。

师：同学们对生2的说法有何意见？(学生都表示同意)

你们碰到了什么问题？(生表示除法有余数不会算)

［老师拿出课前准备好的计算器，请同学们一起看计算器上答案是多少？］

即：7.2÷1.8  = 4 

(老师说明：只不过是我们认数的限制，计算上还没有学到小数的计算，以后我们学了就会明白的，但是现在我们可以依靠计算器帮助我们计算。)

师：还有什么问题？

生：如果原来除法算式就有余数，那么商会怎么样呢？余数会怎么样呢？

师：你猜会是怎样呢？

生：我猜商与余数都不变。

学生试着验证。 汇报：

生1：13 ÷4 =3……1

(13×2)÷(4×2)=3……2     

生2：我知道，商还是不变的，可余数是跟着被除数与除数变的，如生1说的商还是3，而余数也乘了2。

【由学生的质疑，得到了一个余数的变化规律，这是老师课前所没有想到的，但这对下一堂课商不变性质的应用很有用处。】

师：你们是不是也得到这样的结论？

(老师又接着出示计算器，如果用计算器来帮助算一算，会是怎样的呢？

13÷4=3.25   而26÷8=3.25)

师：请说说通过这堂课的学习你明白了什么？

学生看书补充。

 (三)巩固练习(略)

 (四)总结思考质疑：你是怎样学习商不变性质的？

三、评析

“商不变性质“一课，以老师提出的一个填空题作主线，通过学生猜想、验证、再联想、验证来展开整个教学过程，这是我对规律学习的一次尝试，本堂课我一共上了4个班级，从课堂教学实践看，其中两次非常满意，他们学得很积极，每个学生在不同的范围里都参与了，以不同的理解、不同的策略表现出不同的水平。

(一) 对学习目标的定位

本堂课我们抱着“宁愿要一个不严格的理解，也不要一个严格的不理解”这样的理念来设计的。也正因为此，学生学完整堂课后也不一定严格说得出商不变性质的含义，但学生在理解上一定要求到位。基于此，本节课目标要使学生理解和掌握商不变的性质，培养学生的观察、概括以及发现规律探求新知的能力。

(二)数学思想方法的渗透

日本数学教育家米山国藏认为，学生在进入社会以后，如果没有什么机会应用数学，那么作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就会忘掉，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻在人脑中的数学精神和数学思想方法，会长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用。这说明数学思想方法对于数学学习是非常重要的。

数学家发现数学规律的过程，往往是先有一个猜想，而后对猜想进行验证或修正的过程。而猜想又往往是以联想为中介的。

在上述案例中我们看到，学生在教师的启发下，由“被除数与除数都乘以2，商不变”，联想到“都乘以任何数，商变吗”。由“被除数与除数同乘以一个数”，联想到“同除以一个数”；由“同乘以或除以”，联想到“同加上或减去”等等。学生通过联想，产生了一个个新的数学问题。面对新的数学问题，教师鼓励学生先进行大胆猜想，再自己想办法加以验证。学生就像数学家一样，展开丰富的联想，进行大胆的猜想，并自主地收集例证材料进行验证，发现新的数学规律。这样，学生在研究发现数学规律的同时，受到了一次科学研究方法的启蒙。

这说明，在小学数学教学中，诱发学生展开联想，鼓励学生进行大胆的猜想，让学生真实地经历数学问题的产生和解决的全过程，是发展学生的创新意识和创造性能力的有效途径之一。

(三) 现代教育技术的应用

“商不变性质”这一内容的教学之中一直以来最为棘手的是学生对商不变性质表示很大程度上的怀疑，特别是当碰到学生自己举例中有余数、除不尽等情况时，更是没有办法向学生说清商不变性质的可靠性。所以我认识到存在这样的情况，课前自己准备了一个计算器，用它来帮助解决同学们的疑惑。

(四)问题与思考

我们在设计本堂课时，也注意到这样教学问题是老师直接抛给学生的，是不是开放度不够？学生在问题源的产生上，主动性欠缺一些，一开始少了师生提供算式、观察比较。但我们也看到，这两个步骤实际上学生在验证时完全能弥补，且在课一开始就直扑主题，有利于突出重点。

我们在试教过程中也发现，有少量学生还不适宜这种相对比较主动的学习方式，并且不同学校之间学生的差异较大，一堂课下来，效果相差悬殊，所以备课要备好学生是非常重要的。