一、问题的提出

数学思想方法,就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中,经过思维活动而产生的结果,它是对数学事实与数学理论(概念、定理、公式、法则等)的本质认识。在小学数学教育中有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法是提高学生数学能力和思维品质的重要手段，是数学教育中实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要思维活动,且它本身也蕴涵了情感素养的熏染，这也正是新课程标准充分强调的。

《九年制义务教育全日制小学数学课程标准》（实验稿）提出：“学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法。”因此，在小学阶段有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法可以加深学生对数学概念、公式、定理、定律的理解，是提高学生数学能力和思维品质的重要手段，是数学教育中实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学教学进行素质教育的真正内涵之所在。

二、理论依据与文献资料综述

(一)强调数学思想方法的教学早已成为各发达国家的一致共识。

日本的《小学学习指导要领》指出“培养对日常事物现象的推测和合情合理的思考能力。同时，了解用数学方法来处理的优越性，进一步培养在生活中的自觉应用的态度。”正如日本数学史家米山国藏所指出的：“不管他们（指学生）从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，都随时随地地发生作用，使他们受益终生。”

美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中。”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。

（二）现代社会更多的要求学生从小就受到数学思想方法的熏陶与启迪，以便为将来能够解决社会所面临的实际问题而打好基础，这也已成为我国的共识。且近来关于小学数学思想方法的论文较多，如有宁波市海曙区教研室的邬东山《渗透数学思想方法 提高学生思维素质》、深圳市向西小学的余治军 《小学数学如何进行数学思想方法教学 》等，但把它作为课题研究在小学中还较罕见。

（三）不注重数学思想方法教学是我国数学教育的一种严重缺陷。《数学课程标准》在学习内容中提到了若干重要的数学观念、意识和能力，但没有提及关于数学思想方法方面的要求。之所以如此，一个重要的原因是，在界定和刻画适于义务教育阶段(特别是小学)学生领悟和掌握的数学思想方法方面，目前积累的研究成果还不够充分。为此，我们拟开展小学数学思想方法渗透的研究很有价值。

三、研究目标

通过实验，希望达到以下目标：

（一）整理小学阶段应重点渗透的数学思想方法，挖掘新教材中渗透这些思想方法的生成点。

（二）实验组老师将充分重视小学生数学思想方法的渗透，转变教育教学观念，把教学目标重点转移到获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法上。

（三）实验组学生能初步学会运用部分数学的思想方法、思维方式去观察分析现实问题。

（四）能找到在小学数学教学中渗透数学思想方法的一些有效策略。

四、研究内容

研究的主要内容有：数学思想方法的基本理论、小学数学教材中隐含的数学思想方法、小学数学思想方法教学的有效策略、典型教学内容中数学思想方法渗透设计、运用数学思想方法指导教学示范课等等。

由于小学生认知能力和小学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高。我们认为，在小学数学中应予以重视的数学思想主要有：化归思想、符号思想、类比思想、分类思想、 建模思想。其理由是：（１）这些数学思想几乎包摄了全部小学数学内容；（２）符合小学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握；（３）在小学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多；（４）掌握这些思想可以为进一步学习中学数学打下较好的基础。

（一）化归思想

这是小学阶段最重要的一个数学思想。数学研究中，解决数学问题，往往不是直接解决原问题的，而是将问题进行变换，使其转化为一个或几个已经能够解决的问题，这样的思想方法叫做化归思想方法。利用化归法转化而得到的新问题与原问题相比较，应该已解决的或较容易解决的。所以，化归的方向应该是化隐为显，化繁为简、化难为易和化未知为已知。

（二）符号思想

用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息，把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用，正如华罗庚所说的“数学的特点是抽象，正因为如此，用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性”。这种用符号来体现的数学语言是世界性语言，是一个人数学素养的综合反映。如在教学五册人教版新教材《搭配》一课时，一位老师设计了这样一个环节，在学生初步能够表示多种搭配方案后，出示生活中例子：衣服搭配、早餐搭配、奖品搭配(本质上用符号来表示是相同的)，请学生选择其中的一幅图，用自己喜欢的方式把搭配方案表示出来。学生反馈时，如果是用文字等表示，一看就知道学生表示哪幅图；当一位学生用符号或数字来表示时，教师提问：你猜这位同学表示的是哪幅图？引起了学生的思考，也使学生了解了用符号表示的优点，原来用符号可以表示这三幅图，不仅如此，而且还可以表示更多其它的搭配。

（三）类比思想

数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。就迁移过程来分，有些类比十分明显、直接、比较简单，如由加法交换律a+b=b+a的学习迁移到乘法交换律a×b=b×a的学习；而有些类比需在建立抽象分析的基础上才能实现，比较复杂。

（四）分类思想

数学中每一个概念都有其特有的本质特征，它又是按照一定的规律扩展变化的，它们之间都存在着质变到量变的关系。要正确的认识这些概念，就需要具体的概念依据具体的标准具体分析，这就是数学的分类思想，是指按某种标准，将研究地数学对象分成若干部分进行分析研究。一般我们分类时要求满足互斥，无遗漏、最简便的原则。如在教学分数意义时可让学生辨析提问：一根小棒的1/2与1/2米哪个更长？学生就要分数说明：如果这根小棒比1米短，那么1/2米长；

如果这根小棒正好1米，那么一样长；如果这根小棒比1米长，那么1/2米短；

（五）建模思想

所谓数学模型是对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个目的，在作了一些必要的简化和假设之后运用适当的数学工具，并通过数学语言表达出来的一个数学结构。而数学建模思想就是把现实世界中有待解决或未解决的问题，从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的一种数学思想和方法。如握手的次数、打乒乓球的次数问题可以通过建模成组合的问题。

    现代数学思想方法的内涵极为丰富，诸如还有集合思想、优化思想、极限思想等等，数学方法主要有：有序思考的方法、对应方法、假设方法、数形结合法等等。但数学思想、方法教学是循环往复、螺旋上升的过程，往往是几种数学思想、方法交织在一起，在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法，效果更好。

五、研究对象与方法

茅盾小学全体学生。主要采用案例分析法、行动研究法、调查法和辅以文献法，在适当控制条件下开展研究。

六、实验措施

（一）在确定教学目标、实施教学过程、落实教学效果中,有意识地体现数学思想方法　

实验教师加强数学思想方法的教学,首先要有意识地从教学目标的确定、教学过程的实施,教学效果的落实等各个方面来体现,使每节课的教学目标获得和谐的统一。因而在备课时就必须把数学思想方法的教学从钻研教材中加以挖掘。例如,在备《工程问题》这一节课时,就要挖掘当工作总量变化对合做天数没有影响时就可以假设工作总量为任意数这一思想方法的教学目标；在备《除数是小数的除法》这一节课时，就要挖掘除数是小数化归为除数是整数这一思想方法的教学目标等等。

（二） 在掌握重点、突破难点中,有意识地运用数学思想方法

数学教学中的重点,往往就是需要有意识地运用或揭示数学思想方法之处。数学教学中的难点,往往与数学思想方法的更新交替、综合运用、跳跃性较大有关。因此,掌握重点,突破难点,教师更要有意识地运用数学思想方法组织教学。如圆的面积教学，重点是化归思想的渗透，难点是极限思想的渗透。因此，我们是这样设计的：

1、能不能用数方格的方法推导圆面积计算？（回忆长方形面积公式推导）

2、能不能用几个相同圆拼成我们已学图形？（三角形、梯形面积公式推导）

3、能不能把圆剪拼割补成我们已学图形？（平行四边形、三角形、梯形面积公式推导）

前两个问题学生异口同声：不能！而第三个问题一提出，学生有的说行，有的说不能，这时老师就与学生做了一个小实验：折纸剪纸——利用化直为圆（与推导方法逆向）使学生看到直能变圆，同时渗透极限思想，接着问学生：圆能不能剪拼成我们学过的图形？学生都点头说：“能。”那么如何分比较好？为什么？一学生答：“平均分成16份”。（这位同学已预习过）另一学生回答：“平均分的越多越好，越多拼成的图形越像我们已学过图形，但实际上我们做不到分的很多。”于是老师请四人小组为单位一人平均分4份，一人平均分8份，两人合作平均分16份，然后拼成已学图形。通过这样的过程，学生有的拼成近似长方形，有的拼成近似三角形，近似梯形等。然后让学生闭上眼睛想，如果分的份数越来越多，这条线将怎么样？这个图形将怎么样？再多呢？再多呢？……无限多呢？这样的教学虽然练习做的很少，但学生对极限思想，化归思想领悟较深。因为“不管学生将来从事什么工作，惟有深深铭刻于其头脑中的数学观念，数学教给他的思维方法，研究方法以及使用数学的意识等能随时随地发生作用，使他们终身受用。”

（三） 在小结、复习中,有意识地画龙点晴,适度点拨在课堂小结、单元复习时,适时地对某种数学思想方法进行揭示概括和强化,对它的名称、内容、规律、运用等有意识地点拨,不仅可以使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律,而且可使学生逐步体会数学思想方法的精神实质。如在十册数学总复习时老师板书一道异分母分数加减法算式与一个平行四边形面积公式，请学生找找这两个问题之间的联系，来小结化归这一数学思想方法的。

（四）设计一些渗透数学思想方法的题目。如一年级设计下题：写出和是6的加法算式，比一比谁写得又多又好！来渗透有序的数学思想方法；二年级没有学过两位数乘法时，要求学生计算：99×2＝？来渗透化归思想方法；在各年级设计数学判断题来渗透假设思想方法，如：甲数的2/3等于乙数的3/4，那么甲数小于乙数等等。

（五）在数学兴趣小组辅导时，专门开设一讲《数学思想方法》，重点渗透一些特殊的数学思想方法。并请参加数学兴趣小组的同学对全班同学谈体会，召开学习经验交流会，由于学生讲的是学生自己的经验和体会，听起来真实可信，容易被他人接受，有利于听众吸取他的好方法。

七、实验效果与分析

（一）有利于学生理解掌握数学内容。“懂得基本原理使得学科更容易理解”。心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了。下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义。”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去。学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。

（二）有利于记忆。布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记。”“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。无怪乎有人认为，对于学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”

（三）有利于“原理和态度的迁移”。布鲁纳认为，“这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识。”曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的，”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移。”

（四）有利于学生掌握良好的数学思想方法。强调结构和原理的学习，“能够缩挟高级’知识和‘初级’知识之间的间隙。”一般地讲，小学数学与中学数学的界限还是比较清楚的，特别是小学数学的许多具体内容在中学数学中不再出现了，有些术语在中学数学中要赋予它们以新的涵义。而在中学数学中几乎全部保留下来的只有数学思想和方法以及与其关系密切的内容，如集合、对应、化归等。因此，数学思想、方法是联结小学数学与中学数学的一条红线。从这个意义上说，学生掌握数学思想方法本身就是数学教学的重要目标之一。

（五）促进了教师教育教学思想的转变与提高。实验过程中，教师们经历了“不了解数学思想方法――认识数学思想方法――重视数学思想方法――研究数学思想方法――挖掘提炼数学思想方法”的过程。目前，数学思想方法渗透的意识已经明确地纳入到了实验教师的教育教学活动之中，教师的教育教学思想有了一定的转变。而且，如果教师没有扎实的专业知识，就很容易“输”给学生，因此，教师必须认真备课，钻研教育理论与专业知识，补充“养料”，这在客观上也促进了教师的成长与提高。

八、问题与讨论

（一）由于本课题研究时间短，所以本研究对学生显性的效果表现不够明显，只能通过授课老师的感受角度了解一些本课题的实际效果，但真正作为小学数学思想方法渗透的课题研究时间太短，所以部分研究工作还没有深入下去。

（二）数学思想、方法教学是循环往复、螺旋上升的过程，往往是几种数学思想、方法交织在一起，在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法，效果更好。但本研究对小学阶段应渗透的各种数学思想方法还没有整理得很清晰，每一个阶段应重点渗透哪些数学思想方法，体系尚需要建立。

（三）本研究只是对于班级学生整体情况的一个阶段性小结，而对学生个案跟踪研究分析还需要进一步研究。

九、研究成果

研究报告、课堂实录、案例分析、教案、教师论文等。

十、研究组成员：

负责人：陈明荣

成  员：孙树清     沈惠芳   郑惠强   钱建洪   夏向阳　费忠明

执笔：陈明荣

参考文献：

1、《义务教育数学课程标准》，北京师范大学出版社，2001年7月；

2、《小学数学教师》，陈和主编，2002－2004年；

3、《数学思想方法与小学数学教学》，夏俊生主编，河海大学出版社，1998年12月；

4、《小学数学思想方法导引》，王月治主编，浙江大学出版社，1993年8月；

5、《教育实验研究》，杨章宏主编，浙江教育出版社，1998年8月；

6、《中小学教育科研实用教程》，徐学俊主编，武汉出版社，1997年6月。